さすがに頭の中で構築するにはあまりに難しいので、実際にID3000から組を導出する手順を考えた。
まず、組{1,2,3,4}…{1,2,3,25}までは、22組存在する。
つづいて、{1,2,4,5}…{1,2,4,25}までは21組。以下同様にして{1,2,24,25}までの組は
22+21+20+19+…+1となり、あのよくある等差数列で253個存在。
この後2つ目の番号を3に変えて{1,3,※,※}の形が何個あるかを調べると、これは21+20+19+18+…+1個存在する。
つまり、最初の番号がkであるものは、1を23-k個、2を22-k個、3を21-k個…と足し合わせたものになりこれは全部で(23-k)(24-k)(25-k)/6個存在することになる。ちなみにこれはk+1~25の数字を3つ並べる組み合わせで、25-kC3の値と一致する。
この25-kC3の値をk=1,2,3,4…と足しわせていくと、IDより大きな値になることがある。
例えばID3000の場合、k=1では2024。k=2まで足しわせると2024+1741=3765となり、超過。
つまり、k=2のところでこのID3000が存在していることになる。kの定め方より、ここでついに最初の番号が2と決まる。
この後、2番目の番号を探るために、とりあえず最初の番号が2のものの組み合わせのうち、何番目かを探る。そのためには3000から2024を引く。判定には3765を使用していたので、いましがたたした1741を再び引けばきれいにひとつまえの2024の値が残る。プログラムでも実際に[全体和]-[新規総和]みたいな感じでこれを行っている。
{2,※,※,※}の組で3000-2024=976番目であることがわかる。
この後、{2,3,4,5}…{2,3,4,25}は21個、…と再び同様のことをしていく。
ただし、この21個という値は、最初の番号が2だから21になるのであって、最初の番号がkの場合は23-k個になる。
21+20+19+18+…1は231であり、次の{2,4,※,※}は20+19+…1で210、{2,5,※,※}は190、{2,6,※,※}は171、{2,7,※,※}は153となる。これで和が955となる。
そして{2,8,※,※}は136通りあるので、2番目の数字は8と決まる。
そして3番目の数を同定するため、976から955を引く。すると値は21である。
{2,8,9,※}は16通り存在する。よって17番目は{2,8,10,11}である。
求めたいのは21番目なので、{2,8,10,15}となる。
以上より、ID3000は組{2,8,10,15}となる。実際にプログラムに3000を代入してもこうなることを確認。念のためにID1とID12650でそれぞれ組{1,2,3,4}と{22,23,24,25}が返されることを確認した。
なので組→IDよりID→組のほうが、少々プログラムは面倒になる。
…が、意外とウディタでも70行足らずでいけることが判明。
しかしこれ、4つの場合にしか適用されないので、これとまったく同様の手法を3つ、2つでも作っていくことになる。1つはIDがもはや組そのものなので操作は不要。
