アニマロッタは実際にプレイする場合には攻略できるのか、という話。
ここでは、さまざまなボールの発射から入賞までの盤面回転数(ポケット数)をxとして、確率p(x)はそれが起こる確率とする。
例えばP(25)=1とは、25マス分、つまりちょうど1周して入賞する確率が1ということになる。ただしこの1周は、ルーレット版という慣性系から見た話で、固定座標系の話ではない点に注意。初めは固定でやろうと思ったが後々慣性系のほうが扱いやすい気がしたのでそちらに変更した。
さて、以下はいろいろとボール入賞の時間を決めるさまざまなパラメータを定義していく。前提として、アニマロッタの盤面は25秒でちょうど1回転する。
p(x):発射してからxマス分通過して入賞する確率
q(x):カウント0から発射までに盤面のマスがxマス分移動する確率
L:ボール発射の間隔。ポケット移動数で決める
S:セカンドロッタ発射までのポケット移動数 ここでL,Sはたぶん定数だと思われる。
N:残りBET時間25秒の時点での盤面中心と発射口を結んだときの番号との交点
このようなもとで、BETタイム残り時間が25のときに、どのようにアニマツリー(ヘブンツリー)の番号を設定すればよいのか、という議論を行う。ビンゴガーデンでも似たようなことが言える。
さて、まずは具体例で考えてみる。
残り時間25秒の時点で発射口と中心を結ぶ直線状に番号が1であったとする。
これは定義からN=1となる。
すると25秒経過後は角速度が2π/25であるから(25秒かけて2π回転)
残り0秒でボール発射口付近の番号は変わらず1。
q(x)はxによって定まる確率分布である。なぜなら、開始時「ゲームスタートです」とかアニマのセリフなどがあるため、不確定要素だからである。
さて、ここでは具体例なので分かりやすくq(x)をデルタ関数として扱う。つまり、q(12)=1というようなイメージで考えてほしい。離散型なのでこれで定義できているはず。もちろんq(x)=0(x!=12)である。
こうなると、発射時発射口付近の番号は12で確定。
そしてp(x)がxマス分の移動で入賞、ということなので12+xを25でわったあまりが入賞ポケットとなる。ただしx=13の場合は25と約束する。
当然このpは偏りがあればあるほどうれしいことになる。
p,qがデルタ関数であるならば最強だが…。
なお、サードロッタ以降は不確定要素がどんどん増えてきて確率分布に鋭いピークが見られなくなってくる感じなので、考えないことにする。
ではこれを一般に拡張して考えてみる。ただし、N+kなどは26以上になることもあり、これらは先ほどの定義に従って剰余を取って計算するものとしておく。
残り25秒での番号はNである。よって残り0秒での番号もNである。
カウント0から発射までに盤面はq(x)の確率でx移動する。
よって発射時N+kの番号である確率はq(k)とあらわされる。(1周以上はしない)
そして、p(x)の確率でxポケット移動するので、
入賞時N+1のポケットである確率はx=0のときで、これの確率はq(1)p(0)である。
入賞時N+k+nの番号である確率は、x=nのときで、これの確率はq(k)p(n)である。
じゃあまずはここまでの話をまとめる。適当に確率分布として
p(n)=(n-50)/k(50<=n<=70),20/k-(n-70)/k(70<n<=90)となるように(パルス波)
うまくkを定める。
高校2年の基礎的な問題だが面倒なのでmathematicaに投げる。
k=400とすれば離散型確率分布の定義を満たす。
例えば、2周と10ポケット分回って落ちる確率は2周が50ポケットに相当するのでその和は60ポケット分。すなわちp(60)=(60-50)/400=1/40となり2.5%である。
同様に、qはさすがに0秒から発射までは15ポケットはまず移動しない(全ステーションワンダーチャンスならばあれだが…)
q(n)=(n-5)/k (5<=n<=10), 5/k-(n-10)/k (11<=n<=15)と狭く定めるとk=25が適する。
N=1と仮定すると、N+k+nの番号に入る確率はq(k)p(n)である。
よってⅹ番に入る確率はN+k+n=xであることより、n=x-k-Nとなるので、
確率はq(k)p(x-k-N)となる。ここでNは定数、kは5から15までを動くことを考えると、
このkを各々足し合わせたものが実際の確率になると考えられる。
それをmathematicaに描画させると
このようになり、x=80付近で極大値かつ最大値をとる。
極大とは近傍で最大という最大値の特殊バージョンのようなものである。
y=x^3のx=0が極値でない理由は極値の定義を満たさないため。十分小さな正の数εに対して明らかに±εをとればそれぞれx=0が極大、極小である定義を満たさない。
これは25での剰余が5なので、番号5にもっとも入りやすい(といっても確率は4~5%だが)という結果を得られる。たぶん。
当然、N=1、pの最大値が70でqの最大値が10なので80付近に集中するのは実はこんなことしなくてもわかる話という…。
しかしこれまでの議論はパルス波でおこなっただけであり、やはりこれが真価を発揮するのは確率分布に複数のピークがある場合である。
これらは実際に統計をとってみるしか方法がない。
ちなみにこれまでの議論は1球目の話で、2球目は1球目の入賞の確率分布を明らかにLポケット平行移動させたものなので、2,3球目は簡単。
後は1,2,3球目それぞれ1~25番ごとの確率変数について定義しなおして、ファーストロッタでもっとも入りやすい番号がどれかを議論する。
普通に26→1,27→2,25→25,50→25などに引数をうつす写像を考えればよい。
これは普通に引数が、25での剰余が0の場合は(商-1)*25を引数から減算し、それ以外の倍は商*25を減算すればよい。以下はそれを参考にして、1~25番別に入賞する確率を示したものである。
80付近、つまり5番に集中しやすいのが、1~25番別に1球目の様子を見ていてもわかると思う。逆に20番付近は、少し入賞確率が低いことが分かる。ここまでの議論があっていればの話だが。
とはいえ、入賞確率はほとんど3.8%~4.6%程度とほぼ変化がない。
その理由は、pの確率分布の範囲として50から90という実質2周で落ちるものもあれば4週近く回るものもあるという本物以上にばらつきのあるもので実験をしたからと考えられる。ではそのpの確率分布を狭めるとどうなるのか、というのを、pの範囲を50から70に狭めてみると以下のようになる。
この場合はpが60が最も出やすく、さらにqは条件はそのままで10が最大として、
70。これは番号でいうと1+70%25で21付近。たしかに上のグラフは21付近で最大値を取っていることが分かる。そして、この場合は5~10番付近がほぼ入賞しないということが分かる。
このように、たった2つのパルス波のような確率分布を考えるだけでもこのようにボールの入賞確率は多様に変化するという面白みがある。
アニマロッタを本気で攻略するなら、これに加えてp,qの確率分布の特徴をより細かく見ていくなどしていけば、おおまかな番号予想は不可能ではないと考える。
まあなんか、謎の力?によって目当ての番号を外せるっぽいので、完全に有効とはもはやいいきれないが、おおまかな予想ができるだけでもヘブンツリーやビンゴガーデンは有利になる。
この数字予想の考えはすでにアニマロッタ2に先駆者たちが実験して稼いでいたらしいので、我も確率分布で可視化してデータを地道にとってやってもよいと思っている。
彼ら?は相当賢く、チェーンボンバー大辞典などを作ってアクセス数1000000超えのまさに大物である。我は当時そのようなシミュレーションをできる人物にあこがれていたのは秘密。
